信号処理

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一問一答

(1)「時間」「空間」というキーワードを使い、フーリエ変換の問題点を100字以内で述べよ。

時間と空間には、一方の分解能が増加するともう一方の分解能が低下するといったトレードオフの関係がある。フーリエ変換では周波数領域に変換することにより時間領域の情報がつぶれてしまう。(93字)

※短時間窓フーリエ変換は性質上、周波数分解能が低下し周波数の特定が難しくなる。また窓長を長くとった場合には窓内の信号が平均化されて解析されてしまうため、窓内で周波数変化を伴う信号についての解析精度が低下してしまう。(参考)

※窓とは、有限長の信号を取り出すために用いられた信号のこと。

 

(2)ハイレゾ音源が高音質と呼ばれる理由をサンプリング定理の観点から説明せよ。

一般的な音源のサンプリング周波数は44.1kHzであるため、サンプリング定理に基づくと約22kHzまでの音を再現できる。一方、ハイレゾ音源のサンプリング周波数は96kHzであるため、約48kHzまでの音を再現できる。上記の理由からハイレゾ音源は高音質と呼ばれる。

※サンプリング定理・・・アナログ信号をデジタル信号に変換するとき、元の信号に含まれる周波数成分の2倍より高い周波数でサンプリングすれば、元の信号をサンプリングできるというもの。(参考)

 

(3)FIRとIIRについて説明し、IIRがFIRよりも優れている点についても述べよ。

FIRは「フィードバックをせずに有限の項で表される」もので、IIRは「フィードバックをして無限の項で表せる」というもの。FIRフィルタよりもIIRフィルタの方が少ない演算で特性の良いフィルタを設計することができる。

※FIR(Finite Impulse Response)=有限インパルス応答。IIR(Infinite Impulse Response)=無限インパルス応答。

※FIRフィルタでは「出力は入力の畳み込み和のみ」で計算されるが、IIRフィルタでは「入力の畳み込み和 + 過去の出力の畳み込み和」で計算される。(参考)

 

(4)エリアジングとは何かを説明し、エリアジングを防ぐためのフィルタを何と呼ぶか答えよ。

エリアジングとは、サンプリング定理を満たしていない環境下でサンプリングを行うことで、本来は存在していないはずの周波数成分が生じる現象を指す。エリアジングを防ぐために、アンチエリアジングフィルタが用いられる。

※エリアジング(Aliasing)・・・アナログ信号をサンプリングする際に発生する本来存在しないスペクトラムが観測されるという現象で、折り返し雑音と呼ばれている。

※アンチエリアジングフィルタ・・・サンプリングレートの1/2を超える周波数を減衰させるローパスフィルタ。

 

(5)伝達関数において、分子=0および分母=0となる解を何と呼ぶか。

分母=0となる点を伝達関数が持つ極。分子=0となる解を伝達関数が持つ零点と呼ぶ。

※連続系:全ての極の実部が負であれば、システムは安定する。(出力が無限大にならない)

※離散系:複素平面上において全ての極が単位円の内側にあれば、システムは安定する。(インパルス応答が0に減衰)

 

(6)カットオフ周波数とは何か説明せよ。

カットオフ周波数とは、通過域と阻止域の境目の周波数である。ゲインが通過帯域より3dB低下する周波数を指す。

 

(7)バターワースフィルタ、チェビシェフフィルタのメリット・デメリットをそれぞれ述べよ。

[バターワースフィルタ]

メリット:通過域が平坦(最大平坦特性を持つ)。

デメリット:通過域の遮断特性がフィルタの次数に依存する。次数を高くすることで急峻(キュウシュン)にできるが、計算コストが増大する。

[チェビシェフフィルタ]

メリット:通過域の遮断特性が急峻。

デメリット:通過域において等リップルが存在する。

※等リップル特性・・・特定の範囲で起こる振動的な特性のこと。

 

(8)あるアナログ信号を8kHzでサンプリングし、その信号値を符号を含めて8ビットで表現した。このディジタル信号を現すために1秒間に必要とするビット数はいくらか。

$$8000[Hz] * 8[bit] * 1[s] = 64000[bit/s]$$

 

(9)犬の可聴域は120kHz程度であることを踏まえて、犬用の音楽をディジタル化する場合の考え方を述べよ。

サンプリング定理に基づき、犬の可聴域をカバーするサンプリング周波数となる240kHz程度で音源をサンプリングすることで、犬用の音楽としてディジタル化が可能である。

※ただ、サンプリングの際には$2^{n}$の形でなければならないので、答えは「256kHz」。

 

(10)振幅幅が-0.7から0.7[V]の間に制限されているアナログ信号がある。この信号を8bitで表現したい。8bitのうち1bitを符号に用いるとすると量子化幅(電圧)をどう決めれば良いか答えよ。

$$量子化幅Δ = \frac{+0.7 – (-0.7)}{2*(2^{7}-1)} = \frac{0.7}{127} ≒ 5.51×10^{-3}[V]$$

※量子化・・・アナログ信号の連続量を整数などの離散値で近似的に表現すること。(参考)

文章問題

問題1

アナログ信号 $x(t) = 2\cos(800πt+\frac{π}{4}) + \cos(1600πt)$ をサンプリング周期$T_{s}[s]$で離散時間信号$x[n]$としたとき、以下の問いに答えよ。

(1)$T_{s}[s] = \frac{1}{3200}, \frac{1}{4800}$ のときの$x[n]$を求めよ。

$T_{s}[s] = \frac{1}{3200}$ でサンプリングした場合、$t = \frac{n}{3200}$ を与式に代入すればよく

$$x[n] = 2\cos(\frac{π}{4}n+\frac{π}{4}) + \cos(\frac{π}{2}n)・・・(1)$$

同様に$T_{s}[s] = \frac{1}{4800}$ でサンプリングした場合、$t = \frac{n}{4800}$ を与式に代入すればよく

$$x[n] = 2\cos(\frac{π}{6}n+\frac{π}{4}) + \cos(\frac{π}{3}n)・・・(2)$$

(2)上記で求めたそれぞれの離散時間信号$x[n]$の周期を求めよ。

$T_{s}[s] = \frac{1}{3200}$ の場合、(1)式より2種類の周期を持つcos波の足し合わせであることが分かり、それぞれの周期は

$$\frac{π}{4}n=2π → n =8・・・(3)$$

$$\frac{π}{2}n=2π → n =4・・・(4)$$

となる。したがって(3)・(4)式の最大公約数が全体の周期になるため、周期は「8」。

同様に$T_{s}[s] = \frac{1}{4800}$ の場合、

$$\frac{π}{6}n=2π → n =12・・・(5)$$

$$\frac{π}{3}n=2π → n =6・・・(6)$$

となり、周期は「12」。

 

問題2

次の信号スペクトル表示を求め図示せよ。なお、横軸は$ω(=2πf)$ではなく$f[Hz]$で示せ。

(1)$x_{1}(t) = \sin(100πt) + 2\cos(200πt)$

$$x_{1}(t) = \sin(100πt) + 2\cos(200πt)$$

$$= \frac{1}{2j}(e^{j100πt}-e^{-j100πt}) + (e^{j200πt}+e^{-j200πt})$$

$$= \frac{1}{2}e^{-\frac{π}{2}j}(e^{j100πt}-e^{-j100πt}) + (e^{j200πt}+e^{-j200πt})$$

(2)$x_{2}(t) = \cos(100πt)\cos(120πt)$

$$x_{2}(t) = \cos(100πt)\cos(120πt)$$

$$= \frac{1}{2}(e^{j100πt}+e^{-j100πt}) * \frac{1}{2}(e^{j120πt}+e^{-j120πt})$$

$$= \frac{1}{4}(e^{j220πt}+e^{-j20πt}+e^{j20πt}+e^{-j220πt})$$

※スペクトル・・・周波数に対する各成分の分布。(参考

 

問題4

4点DFTの変換行列$W_{4×4}$を求め、その結果を用いて次の信号のDFTを求めよ。

また$z[n]$のDFTの振幅特性を求め、図示せよ。

$$W_{4×4} = \begin{bmatrix} 1&1&1&1 \\ 1&-j&-1&j \\ 1&-1&1&-1 \\ 1&j&-1&-j \end{bmatrix}$$

(1){${x[0], x[1], x[2], x[3]} = {1, 1, 1, 1}$}

$$\begin{bmatrix} 1&1&1&1 \\ 1&-j&-1&j \\ 1&-1&1&-1 \\ 1&j&-1&-j \end{bmatrix}\begin{bmatrix} 1 \\ 1 \\ 1 \\ 1 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 4 \\ 0 \\ 0 \\ 0 \end{bmatrix}$$

(2){${y[0], y[1], y[2], y[3]} = {1, -1, 1, -1}$}

$$\begin{bmatrix} 1&1&1&1 \\ 1&-j&-1&j \\ 1&-1&1&-1 \\ 1&j&-1&-j \end{bmatrix}\begin{bmatrix} 1 \\ -1 \\ 1 \\ -1 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 0 \\ 0 \\ 4 \\ 0 \end{bmatrix}$$

(3){${z[0], z[1], z[2], z[3]} = {1, -1, 0, 1}$}

$$\begin{bmatrix} 1&1&1&1 \\ 1&-j&-1&j \\ 1&-1&1&-1 \\ 1&j&-1&-j \end{bmatrix}\begin{bmatrix} 1 \\ -1 \\ 0 \\ 1 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 1 \\ 1+2j \\ 1 \\ 1-2j \end{bmatrix}$$

 

問題5

4点からなる実数入力信号 ${x[0], x[1], x[2], x[3]}$ を離散フーリエ変換したら、$X[0]=X[1]=X[2]=X[3]=1$ となるとき、以下の問いに答えよ。

(1)${x[0], x[1], x[2], x[3]}$ を逆離散フーリエ変換の式を用いて求めよ。

$$\overline{W_{4×4}} = \begin{bmatrix} 1&1&1&1 \\ 1&j&-1&-j \\ 1&-1&1&-1 \\ 1&-j&-1&j \end{bmatrix}$$

$$x = \frac{1}{4}\overline{W_{4×4}}X = \begin{bmatrix} 1&1&1&1 \\ 1&j&-1&-j \\ 1&-1&1&-1 \\ 1&-j&-1&j \end{bmatrix}\begin{bmatrix} 1 \\ 1 \\ 1 \\ 1 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 1 \\ 0 \\ 0 \\ 0 \end{bmatrix}$$

$$x(0)=1, x(1)=x(2)=x(3)=0$$

(2)フーリエ変換の性質を用いて、この結果を簡単に説明せよ。

インパルス応答はすべての周波数成分を持つことがわかる。

※インパルス応答・・・0の出力の時だけ1を返すというもので、ブラックボックス化されたシステムの中を見る際に有効。

 

問題6

2つのアナログ信号 $x(t) = 2\cos(500πt), v(t)$ が与えられているとき、次の信号のナイキスト周波数を求めよ。ただし、$v(t)$のフーリエ変換$V(ω)$は、$|ω| > 300π$ において$V(ω)=0$を満たす。

(1)$x(t)$

$$ω = 2πf = 500π$$

$$f_{s} = 2f = 500[Hz]$$

(2)$v(t)$

$$300[Hz]$$

(3)$v(2t-3)$

$$300*2 = 600[Hz]$$

(4)$v(t)x(t)$

$$500 + 300 = 800[Hz]$$

 

問題7

$y[n] = \frac{1}{2}x[n] + \frac{1}{2}x[n-1]$で示されるシステムがあるとき、以下の問いに答えよ。

(1)伝達関数と極および零点を求めよ。

$$y[n] = \frac{1}{2}x[n] + \frac{1}{2}x[n-1]$$

$$y[n] = \frac{1}{2}x[n] + \frac{1}{2}Z^{-1}x[n]$$

$$y[n] = \frac{1}{2}x[n] * \frac{Z+1}{Z}$$

$$伝達関数:H[z] = \frac{Z+1}{2Z} , 極:0, 零点:-1$$

(2)周波数特性を求め、振幅特性と位相特性を求めよ。

$Z=e^{jω}$を代入して、

$$H(ω) = \frac{1}{2}(1 + e^{-jω})$$

$$= \frac{1}{2}(1 + \cos{ω}) – \frac{1}{2}j\sin{ω}$$

$$= \frac{1}{2}(2\cos^{2}{\frac{ω}{2}} – j 2\sin{ω}{2}\cos{ω}{2})$$

$$= \cos{\frac{ω}{2}}(\cos{\frac{ω}{2}} – j \sin{\frac{ω}{2}})$$

$$= \cos{\frac{ω}{2}} * e^{-j\frac{ω}{2}}$$

振幅特性:$|H(ω)| = |\cos{\frac{ω}{2}} * e^{-j\frac{ω}{2}}| = |\cos{\frac{ω}{2}}|$

位相特性:$\angle |H(ω)|は、ω=±πのとき H(±π) = 0$

※振幅特性・・・周波数ごとにどれくらいの振幅(信号の強さ)を持っているかを示す関数。(参考

※位相特性・・・正弦波信号の時間的なズレを示す関数。(参考

 

問題8

$x(t) = A\cos{(2000πt + \frac{π}{4})} をサンプリング周波数 f_{s}=8 kHz で離散信号時間 x[n] $としたとき、以下の問いに答えよ。

(1)$x[n]$を求めよ。

$$x[n] = A\cos{(2000π*\frac{n}{8000} + \frac{π}{4})} = A \cos(\frac{π}{4}n + \frac{π}{4})$$

(2)(1)で求めた$x[n]$の周期を求めよ。

$$\frac{π}{4}n = 2π$$

$$n = 8$$

(3)元のアナログ信号を0.1ms遅らせたときのサンプリング信号$x[n]$を求め、位相の変化を示せ。

$$x(t-0.0001) = A\cos{(2000π*(t-0.0001) + \frac{π}{4})} = A\cos{(2000πt – 0.2π + \frac{π}{4})}$$

$$x[n] = A \cos(\frac{π}{4}n – 0.2π + \frac{π}{4})$$

$$-0.2πの遅れがある。$$

 

問題9

$入力x(t), 出力y(t)の関係が y[n] = \frac{1}{4}(-x[n] + 2x[n-1] – x[n-2])$で与えられるとき、以下の問いに答えよ。

(1)伝達関数$H(n)$を求めよ。

$$Y[z] = \frac{1}{4}(-1 + 2Z^{-1} – Z^{-2})x[n]$$

$$H[z] = \frac{1}{4}(-1 + 2Z^{-1} – Z^{-2})$$

(2)このシステムのインパルス信号を求めよ。

$$H(z) = -\frac{1}{4} + \frac{1}{2}Z^{-1} -\frac{1}{4}Z^{-2} = h[0] + h[1]Z^{-1} + h[2]Z^{-2}$$

$$h[0]=-\frac{1}{4}, h[1]=\frac{1}{2}, h[2]=-\frac{1}{4}, h[k]=0(k≠0, 1, 2) $$

(3)システムの周波数応答と振幅特性を求めよ。

$Z=e^{jω}$を代入して、

$$H(ω) = \frac{e^{-jω}}{4}(2 – (e^{jω} + e^{-jω}))$$

$$= \frac{e^{-jω}}{2}(1 – \cos{ω})$$

$$振幅特性:|H(ω)| = \frac{1 – \cos{ω}}{2}$$

 

問題10

3次の常に安定したバタワースフィルタの伝達関数を求めよ。ただし、$ω_{c}=1$とする。

3次はNが奇数であることを示しているので、$S_{k} = ω_{c}*e^{j\frac{πk}{N}} = e^{j\frac{πk}{N}}(k=0, 1, 2…)$

したがって、$S_{0} = 1, S_{1} = e^{j\frac{π}{3}}, S_{2} = e^{j\frac{2π}{3}}…$

これらの解のうち、$Re(S_{k}) < 0$ を満たすものが安定解となるから

この場合、$S_{2} = -\frac{1}{2} + j\frac{\sqrt{3}}{2}, S_{3} = -1, S_{4} = -\frac{1}{2} – j\frac{\sqrt{3}}{2}$ が対象となる。

よって、安定解を持つバタワースフィルタの伝達関数は

$$H(s) = \frac{1}{(s+1)(s+\frac{1}{2}-\frac{\sqrt{3}}{2})(s+\frac{1}{2}+\frac{\sqrt{3}}{2})}$$

$$= \frac{1}{(s+1)(s^{2}+s+1)}$$

※Nが奇数の時は $S_{k} = ω_{c}*e^{j\frac{πk}{N}}$ で、偶数の時は $S_{k} = ω_{c}*e^{j\frac{π(2k+1)}{2N}}$ 。

 

問題11

上図で示された関数のフーリエ変換を求めよ。

$$F(ω)=\displaystyle \int_{-\infty}^{\infty} f(t)e^{-jωt} dt$$

$$F(ω)=\displaystyle \int_{-1}^{0} -e^{-jωt} dt + \displaystyle \int_{0}^{1} e^{-jωt} dt$$

$$=\frac{1}{jω}(1-e^{jω})+(-\frac{1}{jω})(e^{-jω}-1)$$

$$=\frac{2}{jω}(1-e^{-jω})$$

 

問題12

上図で示された関数のフーリエ変換を求めよ。

$$F(ω)=\displaystyle \sum_{n=-\infty}^{\infty} f[n]e^{-jωn}$$

$$=-e^{j3ω}-e^{j2ω}-e^{jω}+e^{-jω}+e^{-j2ω}+e^{-j3ω}$$

$$=-2j(\sin{ω}+\sin{2ω}+\sin{3ω})$$

※DTFT(Discrete Time Fourier Transform) = 離散時間フーリエ変換。$F(Ω)=\displaystyle \sum_{n=-\infty}^{\infty} f(n)e^{-jΩn}$

※DFT(Discrete Fourier Transform) = 離散フーリエ変換。$F(k)=\displaystyle \sum_{n=0}^{N-1} f(n)e^{-j(\frac{2πkn}{N})}$

 

問題13

$x(t)=\cos(200πt+\frac{π}{3})をf_{0}=800Hzでサンプリングし、離散信号x[n]$が得られたとき、以下の問いに答えよ。

(1)x[n]を求めよ。

$T_{s}=\frac{1}{f}=\frac{1}{800}$より

$$x[n]=\cos(\frac{200π}{800}n+\frac{π}{3})=\cos(\frac{π}{4}n+\frac{π}{3})$$

(2)$アナログ正弦波信号y(t)=\cos(2πf_{0}t+θ)を同様に800Hzでサンプリングしたところ、y[n]=x[n]となった。800<f_{0}<1200を満たすy(t)のf_{0}とθを求めよ。$

$f_{0}=800+f_{1}(0<f_{1}<400)$とおくと、

$$y[n]=\cos(\frac{2πf_{0}}{800}n+θ)$$

$$=\cos((2π+\frac{2πf_{1}}{800})n+θ)$$

$$=\cos(\frac{πf_{1}}{400}n+θ)$$

これが$x[n]$と等しくなる条件は、

$$(f_{1}, θ)=(100, \frac{π}{3})$$

(3)$上記において400<f_{0}<800であるとき、f_{0}とθを求めよ。$

$f_{0}=800-f_{2}(0<f_{2}<400)$とおくと、

$$y[n]=\cos(\frac{2πf_{0}}{800}n+θ)$$

$$=\cos((2π-\frac{πf_{2}}{400})n+θ)$$

$$=\cos(-\frac{πf_{2}}{400}n+θ)$$

これが$x[n]$と等しくなる条件は、

$$(f_{2}, θ)=(100, -\frac{π}{3})$$

 

問題14

$x[n]=\cos(nωT)をZ変換せよ。ただし、Z[a^{n}]=\frac{1}{1-aZ^{-1}}とする。$

$$X[n]=\displaystyle \sum_{n=0}^{\infty} x[n]Z^{-n}$$

$$=\displaystyle \sum_{n=0}^{\infty} \cos(nωT)Z^{-n}$$

$$=\displaystyle \sum_{n=0}^{\infty} \frac{e^{jωnT}+e^{-jωnT}}{2}Z^{-n}$$

$$=\frac{1}{2}\displaystyle \sum_{n=0}^{\infty} ((e^{jωT}Z^{-1})^{n}+(e^{-jωT}Z^{-1})^{n})$$

$$=\frac{1}{2}( \frac{1}{1 – e^{jωT}Z^{-1} } + \frac{1}{1-e^{-jωT}Z^{-1}})$$

$$=\frac{1}{2} * \frac{2-(e^{jωT}+e^{-jωT})Z^{-1}}{1-(e^{jωT}+e^{-jωT})+Z^{-2}}$$

$$=\frac{1-\cos(ωT)Z^{-1}}{1-2\cos(ωT)Z^{-1}+Z^{-2}}$$

 

問題15

$x[n]=\frac{7z^{2}-10z}{z^{2}-3z+2}を逆Z変換せよ。ただし、u[n]=\frac{Z}{Z-1}, a^{n}=\frac{Z}{Z-a}とする。$

$$X[n]=\frac{(7z-10)z}{(z-1)(z-2)}$$

$$=\frac{3z}{z-1}+\frac{4z}{z-2}$$

$$=3u[n]+2^{n+2}$$
問題16

$H(z)=\frac{1}{1+Z^{-1}}$で示されるシステムがIIRシステムであることを示せ。

右辺を単純に割り算すると、

$$H(z)=1-Z^{-1}+Z^{-2}-Z^{-3}…$$

となり無限に続くので、IIRシステムである。

 

問題17

$ω_{c}=1$である2次低減通過バタワースフィルターの特性が$H(s)=\frac{1}{s^{2}+\sqrt{2}s+1}$で与えられる。これをカットオフ周波数$ω_{n}=2$のHPFに変換せよ。

$s→\frac{2}{s}$とすればよく、

$$H(s)=\frac{1}{(\frac{2}{s})^{2}+\sqrt{2}(\frac{2}{s})+1}=\frac{s^{2}}{s^{2}+2\sqrt{2}s+4}$$

 

問題18

上図で示された関数(周期:$T$)のフーリエ変換を求めよ。

$$C_{k}=\frac{1}{T}\displaystyle \int_{-\frac{T}{2}}^{\frac{T}{2}} x(t)e^{-jkωt} dt$$

$$=\frac{1}{T}\displaystyle \int_{-\frac{T}{4}}^{\frac{T}{4}} e^{-jkωt} dt$$

$$=\frac{j}{kωT}(e^{-j\frac{π}{2}k}-e^{j\frac{π}{2}k})$$

$$=\frac{\sin{(\frac{k}{2}π)}}{kπ}$$

振幅特性$|C_{k}|$は、「$k$が奇数のとき$\frac{1}{πk}$、$k$が偶数のとき$0$」

位相特性$Arg(C_{k})$は、「$k=4m+1$のとき$π$、それ以外のとき$0$」